據聞，愛因斯坦曾說：「複利是世界第八奇跡，了解它的人可從中獲利，不明白的人將付出代價」。 這句話是否出自愛因斯坦也許難以追查，但複利的強大威力，卻無容置疑。
但你真的完全了解複利嗎？
今天的文章，會用數學的角度，帶出關於複利的四個重要特性。這或者能讓你的理財能力更上一層樓。
1. 回報率翻倍，未來回報不止翻倍
年回報率10%和年回報率20%，看起來回報率只是相差一倍，但因為增長是”利疊利“上去的，利息會再生產利息。所以，年回報率10%和年回報率20%，一段時間後，回報就相差不止一倍。例如一開始$100，30年後，年回報率10%下變成$1,745；而年回報率20%下則變成$23,738，相差13.6倍。而這個差距之後會越來越大。
造成這種結果的原因：一個指數函數的成長速度比另一個指數函數快得多。
2. 在市場上的時間加倍，未來回報不止翻倍
如果你在市場上的時間加倍，回報會增加一倍以上。
複利是指數式增長的，增長會越來越快。隨著在市場上停留的時間越長，其影響就會放大。 將此與更高的利率結合起來，進一步放大收益。
例如，投資以每年10%的速度增長。$100在15年後變成$418，但再過15年，即30年後，就變成$1,745。後15年，增長$1,327，即本金$100的13.27倍。
以20%的利率做相同的事，$100在15年後變成$1,541，但再過15年，即30年後，就變成$23,738。後15年，增長$22,197，即本金$100的221.97倍。
3. 增量速度跟初始數值無關，但跟年增長率有關
在同一個利率中，資產增長到某個級別，所需的時間大致相同。這意味著價值從 100 美元增長到 1,000 美元與從 1,000 美元增長到 10,000 美元所需的時間大致相同。以下是使用50%利率的演示。
在這個50%利率的演示中，你會見到，每隔5-6年，資金就會增加10倍。
增長率會影響增長速度，那麼我們有沒有一個公式，可以計算在某一個增長率下，資金翻十倍所需要的時間？
展示一下，這是年化複利的公式。
對於任何起始本金P，讓我們找出以50%的利率上升10倍需要多長時間。
公式看到，因為P抵消了，所以10倍所花費的時間將不取決於我們的起始量。
重新排列公式，這表明無論我們從100美元還是 1 億美元開始，都需要5.7年的時間才能實現 10倍的複利增長。
在不同利率r%的情況下，用以下公式就可以計算把資金翻10倍的時間。
4. 複合頻率越高，收益增長效果越不明顯
每天複利一次和每年複利一次，差別是很大的。但有趣的是，你會發覺每天複利和每秒複利的差異幾乎可以忽略不計。
這是複利的公式，考慮了複利頻率：
現在假設您在銀行存有$1 元，年利率為 100%。則P = $1，r = 100% = 1，t = 1 年。
一年之後，如果每年複利一次，$1 變 $2；但如果每天複利一次，則$1 變 $2.71，差異是挺大的。但如果每秒複利一次，則$1 變 $2.72，幾乎沒有差異。
我們看到頻率越高，回報遞減，隨後似乎出現上限。事實上，這個上限被稱為Euler's常數，它是數學中最重要的常數之一，與π和i並列。
所以，如果你的金錢能每月複利一次，那就已經很好了。
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